函数极限的证明(精选多篇)

第一篇：函数极限的证明

函数极限的证明

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

第二篇：函数极限证明

函数极限证明

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;

那么存在n1,当x>n1,有a/m<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x>n2时，0<=f2(x)同理，存在ni，当x>ni时，0<=fi(x)取n=max{n1,n2...nm};

那么当x>n,有

(a/m)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/m<=^(1/n)

第三篇：二元函数极限证明

二元函数极限证明

设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须(转载需注明来源：WwW.haoword.cOM)注意有以下几种情形：’

(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在

(2)两个二次极限存在而不相等

(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在

2

函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)

根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε

而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)

又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1

再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|

证毕

3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。

4

f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)

显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在

当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在

而当x->0,y->0时

由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)

而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2

所以|f|<=|x|+|y|

所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0

这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的

正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了

就我这个我就线了好久了

5

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

第四篇：函数极限的性质证明

函数极限的性质证明

x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|xn+1-a|<|xn-a|/a

以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;

|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;

……

|x2-a|<|x1-a|/a;

向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)

2

只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

设x(k)<4，则

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3

当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

4

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第五篇：函数极限的定义证明

习题1?3

1. 根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.

x??2x?12

1证明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只须|x?3|??.3

1证明 因为?? ?0, ????, 当0?|x?3|??时, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只须|x?2|??.5

1证明 因为?? ?0, ????, 当0?|x?2|??时, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只须x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.证明 因为?? ?0, ????, 当0?|x?(?2)|??时, 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只须|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim证明 因为?? ?0, ????, 当0?|x?(?)|??时, 有?2.12x?12x?122x??2. 根据函数极限的定义证明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.

证明 (1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只须??, 即322|x|2?.

证明 因为?? ?0, ?x?(2)分析

sinxx?0?

12?

, 当|x|?x时, 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.

x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

证明 因为???0, ?x?

?2

, 当x?x时, 有

xsinxx

?0??, 只须

?

.

?0??, 所以lim

x???

?0.

3. 当x?2时,y?x2?4. 问?等于多少, 使当|x?2|<?时, |y?4|<0. 001？

解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨设|x?2|?1, 即1?x?3. 要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0. 0002, 则当0?|x?2|??时, 就有|x2?4|?0. 001.5

x2?1x?3

4. 当x??时, y?

x2?1x2?3

?1, 问x等于多少, 使当|x|>x时, |y?1|<0.01?

解 要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, x?.0.01

5. 证明函数f(x)?|x| 当x?0时极限为零.

x|x|

6. 求f(x)?, ?(x)?当x?0时的左﹑右极限, 并说明它们在x?0时的极限是否存在.

xx

证明 因为

x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以极限limf(x)存在.

x?0

因为

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以极限lim?(x)不存在.

x?0

7. 证明: 若x???及x???时, 函数f(x)的极限都存在且都等于a, 则limf(x)?a.

x??

证明 因为limf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0,

x???

x???

?x1?0, 使当x??x1时, 有|f(x)?a|?? ;?x2?0, 使当x?x2时, 有|f(x)?a|?? .

取x?max{x1, x2}, 则当|x|?x时, 有|f(x)?a|?? , 即limf(x)?a.

x??

8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x?x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明 先证明必要性. 设f(x)?a(x?x0), 则??>0, ???0, 使当0<|x?x0|<? 时, 有

|f(x)?a|<? .

因此当x0??<x<x0和x0<x<x0?? 时都有

|f(x)?a|<? .

这说明f(x)当x?x0时左右极限都存在并且都等于a .再证明充分性. 设f(x0?0)?f(x0?0)?a, 则??>0,??1>0, 使当x0??1<x<x0时, 有| f(x)?a<? ;??2>0, 使当x0<x<x0+?2时, 有| f(x)?a|<? .

取??min{?1, ?2}, 则当0<|x?x0|<? 时, 有x0??1<x<x0及x0<x<x0+?2 , 从而有

| f(x)?a|<? ,

即f(x)?a(x?x0).

9. 试给出x??时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.

解 x??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f(x)当x??时的极限存在? 则存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m?

证明 设f(x)?a(x??)? 则对于? ?1? ?x?0? 当|x|?x时? 有|f(x)?a|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?

这就是说存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|?