反函数（新版多篇）

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反函数的概念 篇一

所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

反函数的相关说明 篇二

⑴在函数x=f^(-1)(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f^(-1)(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^(-1)(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。

⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义。从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^(-1)(x)，那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f^(-1)(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)互为反函数。

⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增(减)的定义域内，可以求反函数。

⑷从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的定义域（如下表）：

函数：y=f(x)；

反函数：y=f^(-1)(x)；

定义域：AC;

值域：CA;

⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：

若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f^(-1)(x)就叫做函数y=f(x)的反函数。反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^(-1)(s)=s/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^(-1)(x)=x/2-3.

有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

反函数的应用介绍 篇三

直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：

1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域；

（我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）

2、反解x，也就是用y来表示x;

3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x;

4、写出原函数及其值域。

实例：y=2x+1（值域：任意实数）x=（y-1)/2y=(x-1)/2(x取任意实数）

特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。

反函数求解三步骤：1、换：X、Y换位2、解：解出Y3、标：标出定义域

反函数的使用符号 篇四

符号

arc

用法

例：三角函数中

正弦函数和它的反函数：f(x)=sinx->x=arcsinx

余弦函数和它的反函数：f(x)=cosx->x=arccosx

正切函数和它的反函数：f(x)=tanx->x=arctanx

余切函数和它的反函数：f(x)=cotx->x=arccotx

注解

反正弦的意义，则符合条件sinx=a（-1≤a≤1)的角x叫做a的反正弦，记作：arcsina，即x=arcsina.注：1、“arcsina”表示中的一个角，其中-1≤a≤1.2、sin(arcsina)=a.（二）、反余弦的意义x∈[0，π]，则符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x叫做a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa.注：1、“arccosa”表示[0，π]中的一个角，其中-1≤a≤1.2、cos(arccosa)=a.（三）、反正切的意义，则符合条件tanx=a的角x叫做a的反正切，记作arctana，即x=arctana.注：1、“arctana”表示中的一个角。2、tan（arctana）=a.(四）、用反三角符号表示[0，2π]中角的一般规律

函数的定义 篇五

一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)。则y=f(x)的反函数为y=f^-1(x)。

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）

【反函数的性质】

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4)一般的偶函数一定不存在反函数（但一种特殊的偶函数存在反函数，例f(x）=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数），奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一切隐函数具有反函数；

（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（7)严格增（减）的函数一定有严格增(减）的反函数【反函数存在定理】。

（8）反函数是相互的

（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）

（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）

例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5

y=2^x的反函数是y=log2x

例题：求函数3x-2的反函数

解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.

由y=3x-2解得

x=1/3(y+2)

将x,y互换，则所求y=3x-2的反函数是

y=1/3(x+2)

反函数的基本性质 篇六

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=(y)。若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y)。反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。

⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义。从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数。

⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）：

函数y=f(x)

反函数y=f^-1(x)

定义域

AC

值域

CA

⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：

若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数。反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3.

有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

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