关于分段函数的几点注意【多篇】

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分段点的极限 篇一

对于非分段点或两侧表达式相同的分段点可用初等函数的求极限方法。而对于两侧表达式不同的分段点的。极限要分别求出左右极限。根据定理f(x)=f(x)=A?圳f(x)=A判断函数在该点的极限是否存在。

例1:已知f(x)=x(x≠2)1 (x=2)，求f(x)。

(A)2 (B)1 (C)4 (D)∞

分析:∵x=2是分段点但两侧表达式相同，由上述定理可得:

∴f(x)=f(x)=x=4。

例2:f(x)== 1 (x>1)-1(x<1)，求f(x)。

分析:x=1是分段点且两侧表达式不同。要分别求出左右极限。

∵f(x)=1,f(x)=-1,∴f(x)不存在。

例3:f(x)=3x (x<1) 2(x=1)3x(x>1)，求f(x)。

分析:∵f(x)=3,f(x)=3,∴f(x)=3。

分段函数的不积分 篇二

分别求出各区间段相应函数的不定积分，再由连续性确定常数。

例1:f(x)= x (x<0)-sinx(x≥0)，求f(x)dx。

分析:f(x)dx= +c (x<0)cosx+c(x≥0)

∵f(x)在x=0处连续，∴c=1+c,

∴f(x)dx=+1+c(x<0) cosx+c (x≥0)，其中c为任意常数。

例2:f′(x)=1 (x≤0)e(x>0)，且在x=0处连续，f(0)=0,求f(x)。

分析:f(x)=f′(x)dx=x+c (x≤0)e+c(x>0)

∵f(x)在x=0处连续，且f(0)=0,c=0,c=-1。

∴f(x)=x (x≤0)e-1(x>0)。

分段函数的反函数 篇三

首先判断函数的定义域与值域是否一一对应（或函数是否有单调性），确定反函数是否存在。若存在只要分别求出各区间段相应函数的反函数并确定相应自变量的取值范围。

例1:设f(x)=(-∞ 分析:作图可知函数的定义域与值域一一对应，反函数存在，分别求出各区间的反函数为f(x)=2x (-∞ 例2:设f(x)= e(x≥0)x+1(x<0)，求反函数f(x)。

分析:f(x)是单调递增函数，反函数存在，为f(x)=lnx(x≥1)x-1(x<1)。

分段函数的定积分 篇四

利用定积分的可加性，分成多个定积分。注意要根据分段区间选取相应被积函数。

例1:f(x)=1(-1≤x<0)2(0≤x≤1)，求f(x)dx。

分析:f(x)dxdx=dx+2dx=。

例2:求|1-x|dx。

分析:|1-x|dx=(1-x)dx+(x-1)dx=1。

例3:f(x)= 0 (x<0)(0≤x≤1) 0 (x>1)，kf(x)dx=1,求k的值。

分析:∵kf(x)dxkf(x)dx+kf(x)dx+kf(x)dx=kdx=1,∴k=。

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