定积分的应用 教学设计

教学目标

知识目标

①  理解微元法的原理；

②  借助Matlab软件，掌握运用定积分求解实际应用问题。

能力目标

①  培养学生在信息化条件下查阅、检索资源的能力；

②  能利用数学软件计算定积分；

③  培养学生的观察和分析能力，进一步发展学生的应用数学能力和创新能力。

素养目标

① 创设愉悦的学习情境，让学生处于积极思考、大胆质疑的学习气氛中，提高学生的学习兴趣和课堂效率；

②  在团队协作氛围中，培养学生的职业能力和职业素养。

教学重点

微元法的基本步骤，运用微元法解决实际问题，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

教学难点

根据实际问题做出图形，确定积分变量、积分区间，运用数学建模思想求解实际问题。

教学资源

课件；智慧职教空间；世界大学城空间课程；爱课程MOOC网站

教学参考书

高职高专“十二五”规划教材《应用数学》、“十二五”职业教育国家规划教材《高等数学》

作   业

①  课后巩固课堂内容；

②  利用网络资源，自主拓展学习定积分求解实际问题；

③  进一步学习并掌握Matlab软件的应用。

教  学  过  程  设  计

教学环节

教学内容

教学环境、教学方法、资源

时间

(分钟)

任务准备

利用手机、电脑等智能设备，通过QQ群、微信群发布预习任务书，让学生重温定积分概念、定积分的计算、定积分的几何意义。

爱课程网站，世界大学城空间、QQ群、微信等

课前

图片讨论

引入新课

1.  引例：展示赵州桥图片

思考：古老赵州桥的拱形的面积怎样计算？

引入定积分应用的新课学习内容。

2.  展示洒水车等不同图片

思考：找到图中所示图片的内在联系，引出微元法。

观看图片资源，播放PPT

1.展示法

2.引导互动

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学习新知

掌握重点

1.微元法：分割取近似，作和求极限

（1）“分割、取近似”，将区间作任意分割，任取一子区间[]，得到所求量的局部近似值；

（2）“作和、求极限”，将各子区间的近似值相加，并求极限.   .

2.微元法求解步骤

第一步：选取积分变量，并确定其变化区间

第二步：在内任取一小区间，求了这个子区间对应的部分量的一个合理近似值，得到积分微元

第三步：得问题U的定积分表达式

.

播放PPT，利用matlab软件演示微元法的解题思路。

1.讲授法

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3.微元法求平面图形的面积

根据取变量、求微元、列积分的步骤，分析 -型区域，-型区域的面积。

 -型区域：为积分变量，微元是竖着的小矩形的面积：由,所以d.

-型区域：为积分变量，微元是横着的小矩形的面积：由,所以.

实例讲解.计算由曲线及所围成的图形的面积。

1)画图：利用matlab数学软件画出平面图形的草图；

2)选变量，定区间：选x为积分变量，利用数学软件求交点，并写出积分区间；

3)写出面积微元；

4)利用matlab数学软件计算定积分。

利用matlab软件快速计算定积分的值

1.引导法

2.实验法

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解决引例：如图所示，一抛物线形拱桥的跨度为6米, 高为3米，此抛物线形拱桥的横截面积为多少？

  引导学生建立直角坐标系，抽象出数学模型，利用微元法、借助Matlab软件求解。

通过建立直角坐标系，将赵州桥案例抽象出数学模型。

1.讲授法

2.引导法

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课堂演练

巩固提升

案例1：①求椭圆所围成图形的面积。

②求椭圆绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。

思路：

问题①：将图形分成四个区域，只需求第一象限的面积即可，此时问题简化为一个x-型区域。

问题②：将旋转体看成弧BAC绕y轴旋转而成的，再用截面法即可求得。

设计意图：

1）强化“微元法”的步骤；

2）让学生展示思路和解题过程，既培养主观能动性，又培养语言表达能力；

3）教师负责指导学生建立数学模型并用数学软件求解。

利用matlab数学软件演示实际问题的求解过程。

1.讲授法

2.引导法

3.实验法

4.互动法

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案例 2：修建大桥时，通常要用桥墩来固定并减轻桥身的压力，因此要先下一个圆柱形围囹，且抽尽其中的水以便施工.若现在已知围囹直径为20米，水深27米，围囹高出水面3米，求抽尽其中的水要做多大的功？

   解题思路：

1）将抽水过程看作一薄层一薄层地抽；

2）求出抽每一薄层水所做的功，即功微元dW；

3）将dW无限累加，即得总功。

通过实物模型或图片，引导学生应用微元法解决实际问题，并利用Matlab软件计算。

1.实验法

2.互动交流

3.展示法

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思维拓展

课堂延伸

拓展：学生分组完成作业：

洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，求：

1）水箱的表面积和体积；

2）水箱装满水时，水箱的一个端面所承受的压力。要求学生实测数据，网上搜索有关的资料，确定解决思路，建立模型，并求解。

 1）教师将提供必需的数学软件、课件和学习资料；

 2）对学生的实操过程和结果进行评比；

 3）学生的实操成绩按比例纳入学期总成绩。

目标：充分体现学生的课外学习，培养学生应用数学知识解决问题的意识和能力。

通过洒水车实物模型或图片，引导学生实测数据，网上搜索有关的资料，确定解决思路，建立模型，并求解。

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任务拓展

通过作业及视频学习，实现知识上的延伸和拓展。

课后

课后小记