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如何证明等差数列(精选多篇)

发布时间:2016-04-26 05:52:00 审核编辑:本站小编下载该Word文档收藏本文

第一篇:如何证明等差数列

如何证明等差数列

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

1三个数abc成等差数列,则c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a,则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列

等差:an-(an-1)=常数(n≥2)

等比:an/(an-1=常数(n≥2)

等差:an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比:an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).

2

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4

下面用数学规纳法来证明:

1)容易验证a1=5*1-4=4,a2=5*2-4=6,a3=5*3-4=11,推测均成立

2)假设当n≤k时,推测是成立的,即有aj=5(j-1)-4,(j≤k)

则sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是s(k+1)=a(k+1)+sk

而由题意知:(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8

即:(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8

即:(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1时,推测仍成立。

3

在新的数列中

an=s

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

a(n-1)=s

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d为原数列公差)

20d为常数,所以新数列为等差数列上,an=5n-4即为数列的通项公式,故它为一等差数列。

4

a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差为3/4an除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列

5

那么你就设直角三角形地三条边为a,a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)²=(a+2b)²

所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²

化简得a²=2ab+3b²

两边同时除以b²

解得a/b=3即a=3b

所以三边可以写为3b,3b+b。3b+2b

所以三边之比为3:4:5

6

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

第二篇:等差数列的证明

等差数列的证明

1三个数abc成等差数列,则c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a,则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列

等差:an-(an-1)=常数(n≥2)

等比:an/(an-1=常数(n≥2)

等差:an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比:an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).

2

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4

下面用数学规纳法来证明:

1)容易验证a1=5*1-4=4,a2=5*2-4=6,a3=5*3-4=11,推测均成立

2)假设当n≤k时,推测是成立的,即有aj=5(j-1)-4,(j≤k)

则sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是s(k+1)=a(k+1)+sk

而由题意知:(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8

即:(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8

即:(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1时,推测仍成立。

3

在新的数列中

an=s

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

a(n-1)=s

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d为原数列公差)

20d为常数,所以新数列为等差数列上,an=5n-4即为数列的通项公式,故它为一等差数列。

4

a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差为3/4an除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列

5

证明:

an=sn-sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2

2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1

(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1(1)

同理

(n-1)*(an+1)=nan-a1(2)

(1)-(2)

得到

(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)

2an=an-1+an+1

所以an+1-an=an-an-1

所以数列{an}是等差数列

那么你就设直角三角形地三条边为a,a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)&su(感谢访问好范文网:Www.hAoWoRD.cOm)p2;=(a+2b)²

所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²

化简得a²=2ab+3b²

两边同时除以b²

解得a/b=3即a=3b

所以三边可以写为3b,3b+b。3b+2b

所以三边之比为3:4:5

6

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

第三篇:等差数列证明

设数列{an}的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n(a1+an)/2,求证:{an}是等差数列

解:证法一:令d=a2-a1,下面用数学归纳法证明an=a1+(n-1)d(n∈n*) ①当n=1时,上述等式为恒等式a1=a1,

当n=2时,a1+(2-1)d=a1+(a2-a1)=a2,等式成立.

②假设当n=k(k∈n,k≥2)时命题成立,即ak=a1+(k-1)d 由题设,有sk?

k(a1?ak)(k?1)(a1?ak?1)

,sk?1?, 22

(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)

?+ak+1

22

又sk+1=sk+ak+1,所以

将ak=a1+(k-1)d代入上式,

得(k+1)(a1+ak+1)=2ka1+k(k-1)d+2ak+1 整理得(k-1)ak+1=(k-1)a1+k(k-1)d ∵k≥2,∴ak+1=a1+[(k+1)-1]d. 即n=k+1时等式成立.

由①和②,等式对所有的自然数n成立,从而{an}是等差数列. 证法二:当n≥2时,由题设,sn?1?

(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)

,sn?

22

所以an?sn?sn?1?

n(a1?a2)(n?1)(a1?an?1)

? 22

(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)

?同理有an?1?

22

从而an?1?an?

(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)

?n(a1?an)?

22

整理得:an+1-an=an-an-1,对任意n≥2成立.

从而{an}是等差数列.

评述:本题考查等差数列的基础知识,数学归纳法及推理论证能力,教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式,本题逆向思维,由数列的求和公式去推数列的通项公式,有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证,却不知用数学归纳法证什么,这里需要把数列成等差数列这一文字语言,转化为数列通项公式是an=a1+(n-1)d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.

第四篇:等差数列的证明

一、 等差数列的证明 利用等差(等比)数列的定义

在数列{an}中,若an?an?1?d

二.运用等差中项性质

an?an?2?2an?1?{an}是等差数列

三.通项与前n项和法

若数列通项an能表示成an?an?b(a,b为常数)的形式,则数列?an?是等差数列; 若数列?an?的前n项和sn能表示成sn?an2?bn (a,b为常数)的形式,则数列?an?等差数列;

例1.若sn是数列?an?的前n项和,sn?n2,则?an?是().

a.等比数列,但不是等差数列b.等差数列,但不是等比数列c.等差数列,而且也是等比数列d.既非等比数列又非等差数列

练习:已知数列前n项和sn?n2?2n,求通项公式an,并说明这个数列是否为等差数列。

练习:设数列?an?的前n项的和sn?n2?2n?4,?n?n??,

⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3;

⑵证明:数列?an?除去首项后所成的数列a2,a3,a4?是等差数列。

例2:已知数列?an?满足a1?1,an?2an?1?2

(ⅰ)求证:数列?n?n?2?, ?an?是等差数列; n?2??

(ⅱ)求数列?an?的通项公式。

练习:已知数列?an?满足a1?2,an?1?an, 1?2an(ⅰ)求证:数列??1??是等差数列; a?n?(ⅱ)求数列?an?的通项公式。

第五篇:已知数列{an}是等差数列,设bn=a2n 1-a2n证明:数列{bn}是等差数列

已知数列{an}是等差数列,设bn=a2n+1-a2n证明:数列{bn}是等差数列

思路:这个题的方法和上课讲的方法是一致的,你没有做出来,是因为忽略了数列{an}是等差数列这个条件,这个条件就以为着对于{an}来说,前后两项的差为常数

证明:设等差数列{an}的公差为d

bn?1?bn

2222?(an?2?an?1)?(an?1?an)

?(an?2?an?1)(an?2?an?1)?(an?1?an)(an?1?an)

?d(an?2?an?1)?d(an?1?an)

?d(an?2?an?1?an?1?an)

?d(an?2?an)

?d?2d

?2d2

⊙已知函数f﹙x)=x3+x,g(x)=(x2+ax+4)÷x (1)若对任意的x1属于【1,3】,存在x2属于【1,3】,使得f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围。

(2)若对任意的x1,x2属于【1,3】都有f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围。思路:第2问是恒成立问题,你说的对,第一个问不是。因为是“存在x2”,所

以应该满足的条件是f(x)的最大值大于等于g(x)的最大值,f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值,

解:f(x)通过求导可求得值域为f(x1)?[2,30],g(x2)?x?4?a?[4?a,5?a] x

?30?5?a所以(1)解不等式?,解不等式即可 2?4?a?

(2)2?5?a,解不等式即可

⊙设m属于r,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),向量a⊥向量b,动点m(x,y)的轨迹为e。

已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹e恒有两个交点a,b,且oa⊥ob(o为坐标原点),并求出该圆的方程。

思路:该题就是一个“直线和圆锥曲线相交”的问题,方法是韦达定理法。关于解析几何的大题,我会在寒假的时候,重点训练大家的,这种题的特点是运算量大,思路倒是没有什么问题。先根据向量垂直,求出m的轨迹方程为椭圆。然后在根据圆的性质:切点与圆心的连线与切线垂直,切点与圆心的距离等于半径,再加上向量垂直,即可求解。

?12x2

222?y2?1 解:?b?x?y?1?0?x?4y?4?44

设圆的切线的切点坐标为p(x0,y0),则k0p?y0x,因为op和ab垂直,所以kab??0,x0y0则设直线ab的方程:y?y0??x0(x?x0)带入到椭圆方程中,得: y0

2(y0?4x0)x?8x0rx?4r?4y0?0?x1?x2?222248x0r2

y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222

r2?x0x1r2?x0x2又因为0a?0p?x1x2?y1y2?0?x1x2?()()?0y0y0

?x1x2?r2?x0(x1?x2)?0

将上面求得的x1?x2?8x0r2

y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222带入到上式中,整理可求得

r2?4422,即圆的方程为x?y? 55

⊙设a>1,则双曲线x2÷a2-y2÷(a+1)2=1的离心率e的取值范围是? a2?(a?1)21解:e??2a??2?5 aa

总结;最后求范围是根据对勾函数求的,如果不懂,可以参考函数课程中的“分式函数”这节课。

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