勾股定理的证明方法【通用多篇】

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勾股定理证明方法 篇一

勾股定理证明方法

勾股定理的种证明方法（部分）

【证法1】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上。过c作ac的延长线交df于点p.

∵d、e、f在一条直线上，且rtδgef≌rtδebd,

∴∠egf=∠bed，

∵∠egf+∠gef=90°，

∴∠bed+∠gef=90°，

∴∠beg=180º―90º=90º。

又∵ab=be=eg=ga=c，

∴abeg是一个边长为c的正方形。

∴∠abc+∠cbe=90º。

∵rtδabc≌rtδebd,

∴∠abc=∠ebd.

∴∠ebd+∠cbe=90º。

即∠cbd=90º。

又∵∠bde=90º，∠bcp=90º，

bc=bd=a.

∴bdpc是一个边长为a的正方形。

同理，hpfg是一个边长为b的正方形。

设多边形ghcbe的面积为s，则

，

∴。

【证法2】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点在一条直线上。

过点q作qp‖bc，交ac于点p.

过点b作bm⊥pq，垂足为m;再过点

f作fn⊥pq，垂足为n.

∵∠bca=90º，qp‖bc，

∴∠mpc=90º，

∵bm⊥pq，

∴∠bmp=90º，

∴bcpm是一个矩形，即∠mbc=90º。

∵∠qbm+∠mba=∠qba=90º，

∠abc+∠mba=∠mbc=90º，

∴∠qbm=∠abc，

又∵∠bmp=90º，∠bca=90º，bq=ba=c，

∴rtδbmq≌rtδbca.

同理可证rtδqnf≌rtδaef.

【证法3】（赵浩杰证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形。

分别以cf，ae为边长做正方形fcji和aeig，

∵ef=df-de=b-a，ei=b，

∴fi=a，

∴g,i,j在同一直线上，

∵cj=cf=a，cb=cd=c，

∠cjb=∠cfd=90º，

∴rtδcjb≌rtδcfd，

同理，rtδabg≌rtδade，

∴rtδcjb≌rtδcfd≌rtδabg≌rtδade

∴∠abg=∠bcj,

∵∠bcj+∠cbj=90º，

∴∠abg+∠cbj=90º，

∵∠abc=90º，

∴g,b,i,j在同一直线上，

【证法4】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结

bf、cd.过c作cl⊥de，

交ab于点m，交de于点

l.

∵af=ac，ab=ad，

∠fab=∠gad，

∴δfab≌δgad，

∵δfab的面积等于，

δgad的面积等于矩形adlm

的面积的一半，

∴矩形adlm的面积=。

同理可证，矩形mleb的面积=。

∵正方形adeb的面积

=矩形adlm的面积+矩形mleb的面积

∴，即。

勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”。因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。

前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。

证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(elishascottloomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。

勾股定理的证明方法 篇二

勾股定理的证明方法

绪论

勾股定理是世界上应用最广泛，历史最悠久，研究最深入的定理之一，是数学、几何中的重要且基本的工具。而数千年来，许多民族、许多个人对于这个定理之证明数不胜数，达三百余种。可见，勾股定理是人类利用代数思想、数学思想解决几何问题、生活实际问题的共同智慧之结晶，也是公理化证明体系的开端。

第一节 勾股定理的基本内容

文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。 数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2 事实上，它是余弦定理之一种特殊形式。

第二节勾股定理的证明

2.1欧洲

在欧洲，相传最早证明勾股定理的是毕达哥拉斯，故在欧洲该定理得名毕达哥拉斯定理；又因毕达哥拉斯在证毕此定理后宰杀一百头牛庆祝，故亦称百牛定理。

欧洲最早记载这一定理之书籍，属欧几里得《几何原本》。

毕达哥拉斯的证明方法（相传）：

一说采用拼图法，一说采用定理法。

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形。

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。

a2+b2+4×1/2ab = c2+4×1/2ab ，整理即可得到。

定理法就是几何原本当中的证法：

设△abc为一直角三角形，其中a为直角。从a点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。形。

2.2 中国

《周髀算经》、《九章算术》当中都有相关问题的记载。

周髀算经的证明方法：

“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩。”——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。验算勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。 赵爽弦图或许是中国人最著名的一种证法。

赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形abde是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则

面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2 = c2;

化简后便可得：

a2 + b2= c2

亦即：

c=√（a2 + b2）

可见，中国古人主要采取拼图法进行证明。后来美国总统加菲尔德也曾采用拼图法，利用面积巧妙的证明了勾股定理，他用了两个全等的直角三角形拼成一个梯形，利用面积法进行证明，非常巧妙。

2.3 其他方法

最快：射影定理法，利用相似形来证明。

面积思想：利用三角形五心的性质，利用面积来证明。

综上所述，勾股定理的证明是人类智慧的结晶。

证明勾股定理的方法 篇三

最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长玫秸？叫蜛BDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子：

4×(ab/2)+(b-a)2=c2

化简后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=(a2+b2)(1/2)

稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来（出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入），结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。

再给出两种

1。做直角三角形的高，然后用相似三角形比例做出。

2。把直角三角形内接于圆。然后扩张做出一矩形。最后用一下托勒密定

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