七年级数学知识点：提公因式法知识点【通用多篇】

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七年级数学知识点：提公因式法知识点 篇一

1.类比法

在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．

在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．

2.因式分解的概念：

计算出其结果．

如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc

2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

(a+b)(a-b)＝a2-b2

(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn

(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．

它们有什么共同的特点？

特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．

可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．

说出因式分解与整式乘法的联系与区别．

联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．

区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式．

例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？（投影）

(1)x2-x＝x(x-1) (√)

(2)a(a-b)＝a2-ab (×)

(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)

(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)

(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)

下面我们学习几种常见的因式分解方法．

3．提公因式法：

我们看多项式：ma+mb+mc

它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．

注意：公因式是各项都含有的公共的因式．

又如：a是多项式a2-a各项的公因式．

ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．

2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．

根据乘法的分配律，可得m(a+b+c)＝ma+mb+mc，

逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多 项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．

找出确定公因式的万法：

(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：

(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式：

(1)ax+ay+a (a)

(2)3mx-6mx2 (3mx)

(3)4a2+10ah (2a)

(4)x2y+xy2 (xy)

(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

例3 把8a3b2-12ab3c分解因式．

分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．

先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．

解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．

说明：

(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．

(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．

①以显提醒；

③强调提公因式；

③强调因式分解．

例4 把3x2-6xy+x 分解因式．

分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．

解：3x2-6xy+x

=x·3x-x·6y+x·1

＝x(3x-6y+1)．

说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．

4.把下列各式分解因式：

(l)2πR+2πr；

(2)

(3)3x3+6x2；

(4)21a2+7a；

(5)15a2+25ab2；

(6)x2y+xy2-xy．

例5 把-4m3+16m2-26m分解因式．

分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，注意添括号法则．

解：-4m3+16m2-26m

＝-(4m3-16m2+26m)

＝-2m(2m2-8m+13)．

说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．

5.把下列各式分解因式：

(1)-15ax-20a；

(2)-25x8+125x16；

(3)-a3b2+a2b3；

(4)-x3y3-x2y2-xy；

(5)-3ma3+6ma2-12ma；

七年级数学知识点：提公因式法知识点 篇二

初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。小编为大家提供了提公因式法知识点，希望对大家有所帮助。

◆因式分解——把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积）

注意：

1、因式分解对象是多项式；

2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止；

3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性；

◆分解因式的作用

分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。

◆分解因式的一些原则

（1）提公因式优先的原则。即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。

（2）分解彻底的原则。即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。

（3）首项为负的添括号原则。即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“—”号的括号，并遵循添括号法则。

◆因式分解的首要方法—提公因式法

1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。

3、使用提取公因式法应注意几点：

（1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。

（2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）

（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。

◆提公因式法分解因式的关键：

1、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积）

2、提出公因式后另一因式的确定；（用原多项式的每一项分别除以公因式）

七年级数学知识点：提公因式法知识点 篇三

性质：

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

概念：

提公因式法一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

【提取公因式法的解题步骤】

提取公因式法是因式分解的一种基本方法。如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式。

提取公因式是乘法分配律的逆运算，其最简形式为：ma+mb+mc=m(a+b+c)。

提取公因式法分解因式的解题步骤是怎样的？

利用提公因式法分解因式时，一般分两步进行：

(1)提公因式。

把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来；当系数为整数时，还要把它们的最大公约数也提出来，作为公因式的系数；当多项式首项符号为负时，还要提出负号。

(2)用公因式分别去除多项式的每一项，把所得的商的代数和作为另一个因式，与公因式写成积的形式。

由于题目形式千变万化，解题时也不能生搬硬套。例如，有的需要先对题目适当整理变形；有的分解因式后多项式因式中有同类项的还要进行合并化简；还有的提取公因式后能用其他方法继续分解。

其中，以(a-b)*(a+b)为例

【练习题】

1.多项式8x3y2-12xy3z的公因式是_________.

2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )

A.-6ab2c

B.-ab2

C.-6ab2

D.-6a3b2c

3.下列用提公因式法因式分解正确的是( )

A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)

B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)

C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)

D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)

【参考答案】

1.4xy2

2.C

3.C

七年级数学知识点：提公因式法知识点 篇四

1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式。当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式。

2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：

1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数。

2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，

一般步骤：

① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；

②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数。

3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式。

七年级数学知识点：提公因式法知识点 篇五

1、整理知识结构

提公因式法：关键是确定公因式

因式分解平方差公式：______________________

运用公式法：

完全平方公式：_____________________

2、分解因式：

⑴4a4-100

⑵a4-2a2b2+b4

3、思考：

⑴在解答这两题的过程中，你用到了哪些公式？

⑵你认为(2a2+10)(2a2-10)和(a2-b2)2这两个结果是因式分解的最终结果吗？若不是，你认为还可以怎样分解？

⑶怎样避免出现上述分解不完全的情况呢？

说明：公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式。多项式的因式分解，要根据多项式的特点，选择使用恰当的方法去分解，对于有些多项式，有时需同时用到几种不同的方法，才能分解完全。

4、问题研讨：

1、例题一(准备好，跟着老师一起做！)

把下列各式分解因式：⑴18a2-50⑵2x2y-8xy+8y

⑶a2(x-y)-b2(x-y)

2、例题二(有困难，大家一起讨论吧！)

把下列各式分解因式：⑴a4-16⑵81x4-72x2y2+16y4

3、因式分解的。方法步骤：

⑴如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解。

⑵分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止。

⑶因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。

注意：先提取公因式后利用公式。

注意：两个公式先后套用。分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止。

即：“一提”、“二套”、“三查”。说明：将一个多项式分解因式时，首先要观察被分解的多项式是否有公因式，若有，就要先提供因式，再观察另一个因式特点，进而发现其能否用公式法继续分解。

5、练习检测与拓展延伸：

1、巩固练习

⑴把下列各式分解因式：

①3ax2-3ay4

②-2xy-x2--好范文网§www.haoword.com y2

③3ax2+6axy+3ay2

⑵把下列各式分解因式：

①x4-81

②(x2-2y)2-(1-2y)2

③x4-2x2+1

④x4-8x2y2+16y4

2、提升训练

⑴已知2x+y=6、x-3y=1，求14y(x-3y)2-4(3y-x)3的值。

⑵已知a+b=5、ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值。

6、总结：

进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分为止。

七年级数学知识点：提公因式法知识点 篇六

多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 3x2+x呢？多项式mb2+nb–b呢？

结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．

多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？

结论：

（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；

（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．

将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：

（1）ab+ac

（2）x2+4x

（3）mb2+nb–b

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

将下列多项式进行分解因式：

（1）3x+

（2）7x –21

（3） 8a3b2–12ab3c+ab

（4）–24x3+12x2－28x

提取公因式的步骤：

（1）找公因式；

（2）提公因式．

易出现的问题：

（1）第二题只提出7x作为公因式

（2）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”；

（3）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．

提醒：

（1）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（2）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；

（3）如果多项式的首项为“–”时，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；

（4）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．

找出下列各多项式的公因式：

（1）4x+8y

（2）am+an

（3）48mn–24m2n3

（4）a2b–2ab2+ab

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