[概述]平面向量的数量积及运算律（多篇）为好范文网的会员投稿推荐，但愿对你的学习工作带来帮助。
平面向量的数量积及运算律 篇一
教学目的：
1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4 掌握向量垂直的条件
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律
教学过程：
一、复习引入：
1. 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ
2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2
3.平面向量的坐标表示
分别取与 轴、轴方向相同的两个单位向量 、作为基底 任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、，使得
把 叫做向量 的（直角）坐标，记作
4.平面向量的坐标运算
若 ， ，
则 ， ，
若 ， ，则
5. ∥ ( )的充要条件是x1y2-x2y1=0
6.线段的定比分点及λ
p1, p2是直线l上的两点，p是l上不同于p1, p2的任一点，存在实数λ，
使 =λ ，λ叫做点p分 所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7 定比分点坐标公式：
若点p1(x1,y1) ，p2(x2,y2)，λ为实数，且 ＝λ ，则点p的坐标为（ ），我们称λ为点p分 所成的比
8 点p的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞0时， 与 同向共线，这时称点p为 的内分点
②当λ＜0( )时， 与 反向共线，这时称点p为 的外分点
9 线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点o，设 ＝ ， ＝ ，
可得 =
10.力做的功：w = | || |cos，是 与 的夹角
二、讲解新课：
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫 与 的夹角
说明：（1）当θ＝0时， 与 同向；
（2）当θ＝π时， 与 反向；
（3）当θ＝ 时， 与 垂直，记 ⊥ ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 范围0≤≤180
2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = | || |cos，
（0≤θ≤π） 并规定 与任何向量的数量积为0
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ；今后要学到两个向量的外积 × ，而 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分 符号“• ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若 ，且 =0，不能推出 = 因为其中cos有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c
但是 = =
如右图： = | || |cos = | ||oa|， = | || |cos = | ||oa|
= 但
(5)在实数中，有(aa)c = a(ac)，但是( ) ( )
显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共线
3.“投影”的概念：作图
定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |
4.向量的数量积的几何意义：
数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积
5.两个向量的数量积的性质：
设 、为两个非零向量， 是与 同向的单位向量
1 = =| |cos
2 = 0
3 当 与 同向时， = | || |；当 与 反向时， = | || |
特别的 = | |2或
4 os =
5| | ≤ | || |
三、讲解范例：
例1 判断正误，并简要说明理由
① • ＝ ；②0• ＝0；③ － ＝ ；④｜ • ｜＝｜ ｜｜ ｜；⑤若 ≠ ，则对任一非零 有 • ≠0；⑥ • ＝0，则 与 中至少有一个为 ；⑦对任意向量 ， ， 都有（ • ） ＝ （ • ）；⑧ 与 是两个单位向量，则 2＝ 2
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有 • ＝0；
对于②：应有0• ＝ ；
对于④：由数量积定义有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜•｜cosθ｜≤｜ ｜｜ ｜，这里θ是 与 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜；
对于⑤：若非零向量 、垂直，有 • ＝0；
对于⑥：由 • ＝0可知 ⊥ 可以都非零；
对于⑦：若 与 共线，记 ＝λ
则 • ＝（λ ）• ＝λ（ • ）＝λ（ • ），
∴（ • ）• ＝λ（ • ） ＝（ • ）λ ＝（ • ）
若 与 不共线，则( • ) ≠（ • ）
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
例2 已知｜ ｜＝3，｜ ｜＝6，当① ∥ ，② ⊥ ，③ 与 的夹角是60°时，分别求 •
解：①当 ∥ 时，若 与 同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若 与 反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ • ＝｜ ｜｜ ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当 ⊥ 时，它们的夹角θ＝90°，
∴ • ＝0；
③当 与 的夹角是60°时，有
• ＝｜ ｜｜ ｜cos60°＝3×6× ＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当 ∥ 时，有0°或180°两种可能
四、课堂练习：
五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1 概念辨析：正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
1 已知△abc中， ＝5， ＝8，c＝60°，求 •
对此题，有同学求解如下：
解：如图，∵｜ ｜＝ ＝5，｜ ｜＝ ＝8，c＝60°，
∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cosc＝5×8cos60°＝20
分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中 与 两向量的起点并不同，因此，c并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是c的补角120°
2 向量的数量积不满足结合律
分析：若有（ • ） ＝ •（ • ），设 、夹角为 ， 、夹角为β，则( • ) ＝｜ ｜•｜ ｜cosα• ，
•( • )＝ •｜ ｜｜ ｜cosβ
∴若 ＝ ，α＝β，则｜ ｜＝｜ ｜，进而有：（ • ） ＝ •( • )
这是一种特殊情形，一般情况则不成立 举反例如下：
已知｜ ｜＝1，｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ， 与 夹角是60°， 与 夹角是45°，则：
( • )• ＝（｜ ｜•｜ ｜cos60°） ＝ ，
•( • )＝（｜ ｜•｜ ｜cos45°） ＝
而 ≠ ，故（ • ）• ≠ •（ • ）
平面向量的数量积及运算律 篇二
（第二课时）
一、教学目标
1.掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；
2.掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；
3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
5.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识。
二、教学重点 平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；
教学难点 平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用。
三、教学具准备
投影仪
四、教学过程
1.设置情境
上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？
2.探索研究
（1）师：什么叫做两个向量的数量积？
生： （ 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积）
师：向量的数量积有哪些性质？
生：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
师：向量的数量积满足哪些运算律？
生（由学生验证得出）
交换律：
分配律：
师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证）
生： ，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。
（2）例题分析
【例1】求证：
（1）
（2）
分析：本例与多项式乘法形式完全一样。
证：
注： （其中 、为向量）
答：一般不成立。
【例2】已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 .
解：∵
注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值。
【例3】已知 ， 且 与 不共线，当且仅当 为何值时，向量 与 互相垂直。
分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？
生：
解： 与 互相垂直的充要条件是
即
∵
∴
∴
∴ 当且仅当 时， 与 互相垂直。
3.演练反馈（投影）
（1）已知 ， 为非零向量， 与 互相垂直， 与 互相垂直，求 与 的夹角。
（2） ， 为非零向量，当 的模取最小值时，
①求 的值；
②求证： 与 垂直。
（3）证明：直径所对的圆周角为直角。
参考答案：
（1）
（2）解答：①由
当 时 最小；
②∵
∴ 与 垂直。
（3）如图所示，设 ， ， （其中 为圆心， 为直径， 为圆周上任一点）
则
∵ ，
∴ 即 圆周角
4.总结提炼
（l）
（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立。
（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件。
（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律。
五、板书设计
课题：
1.数量积性质
2.数量积运算律
例题
1
2
3
演练反馈
总结提炼
平面向量的数量积及运算律 篇三
（第一课时）
一、教学目标
1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；
2.掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；
3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
4.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识。
二、教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用
教学难点 平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解。
三、教学具准备
直尺，投影仪
四、教学过程
1.设置情境
师：我们学过功的概念：即一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功： ，其中 表示一个什么角度？
表示力 的方向与位移 的方向的夹角。
我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量 、，来规定 的含义。
2.探索研究
（l）已知两个非零向量 和 ，在平面上任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角。你能指出下列图中两向量的夹角吗？
① 与 的夹角为 ，② 与 的夹角为 ，③ 与 的夹角是 ，④ 与 的夹角是 .
（2）下面给出数量积定义：
师：（板书）已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ，叫做向量 与 的数量积或（内积）记作 即
并规定
师：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别。
生：向量的数量积结果是一个数量，而向量的加法和减法的结果还是一个向量。
师：你能从图中作出 的几何图形吗？ 表示的几何意义是什么？
生：如图，过 的终点 作 的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得：
所以 叫做向量 在向量 上的投影， 叫做 在 上的投影。
师：因此我们得到 的几何意义：向量 与 的数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积。
注意：1°投影也是一个数量，不是向量。
2°当q为锐角时投影为正值；
当q为钝角时投影为负值；
当q为直角时投影为0；
当q =0°时投影为 |b|；
当q =180°时投影为 -|b|。
向量的数量积的几何意义：
数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。
（3）下面讨论数量积的性质：
（每写一条让学生动手证一条）设 ， 都是非零向量， 是与 的方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则
①
②
③当 与 同向时， ，当 与 反向时， 。
特别地
④
⑤
3.演练反馈（投影）
（通过练习熟练掌握性质）
判断下列各题是否正确
（1）若 ，则对任意向量 ，有 （ ）
（2）若 ，则对任意非零量 ，有 （ ）
（3）若 ，且 ，则 （ ）
（4）若 ，则 或 （ ）
（5）对任意向量 有 （ ）
（6）若 ，且 ，则 （ ）
参考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×.
4.总结提炼
（l）向量的数量的物理模型是力的做功。
（2） 的结果是个实数（标量）
（3）利用 ，可以求两向量夹角，尤其是判定垂直。
（4）二向量夹角范围 .
（5）五条属性要掌握。
五、板书设计
课题
1.“功”的抽象
2.数量积的定义
3.（5）条性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
4.演练反馈
5.总结提炼
平面向量的数量积及运算律 篇四
教学目的：
1 掌握平面向量数量积运算规律；
2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
教学重点：平面向量数量积及运算规律
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质
教学过程：
一、复习引入：
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫 与 的夹角
2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = | || |cos，
（0≤θ≤π） 并规定 与任何向量的数量积为0
3.“投影”的概念：作图
定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |
4.向量的数量积的几何意义：
数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积
5.两个向量的数量积的性质：
设 、为两个非零向量， 是与 同向的单位向量
1 = =| |cos；2 = 0
3当 与 同向时， = | || |；当 与 反向时， = | || |
特别的 = | |2或
4cos = ；5| | ≤ | || |
6.判断下列各题正确与否：
1若 = ，则对任一向量 ，有 = 0 ( √ )
2若 ，则对任一非零向量 ，有 0 ( × )
3若 ， = 0，则 = ( × )
4若 = 0，则 、至少有一个为零 ( × )
5若 ， = ，则 = ( × )
6若 = ，则 = 当且仅当 时成立 ( × )
7对任意向量 、、，有( ) ( ) ( × )
8对任意向量 ，有 2 = | |2 ( √ )
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1.交换律： =
证：设 ， 夹角为，则 = | || |cos， = | || |cos
∴ =
2.数乘结合律：( ) = ( ) = ( )
证：若 >0，( ) = | || |cos， ( ) = | || |cos， ( ) = | || |cos，
若 < 0，( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos，
( ) = | || |cos，
( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos
3.分配律：( + ) = c +
在平面内取一点o，作 = , = ， = ，
∵ + （即 ）在 方向上的投影等于 、在 方向上的投影和，
即 | + | cos = | | cos1 + | | cos2
∴| | | + | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2
∴ ( + ) = + 即：( + ) = +
说明：（1）一般地，( • ) ≠ （ • ）
（2） • ＝ • ， ≠ ＝
（3）有如下常用性质： 2＝｜ ｜2，
（ ＋ ）（ ＋ ）＝ • ＋ • ＋ • ＋ •
( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2
三、讲解范例：
例1 已知 、都是非零向量，且 + 3 与7 5 垂直， 4 与7 2 垂直，求 与 的夹角
解：由( + 3 )(7 5 ) = 0 7 2 + 16 15 2 = 0 ①
( 4 )(7 2 ) = 0 7 2 30 + 8 2 = 0 ②
两式相减：2 = 2
代入①或②得： 2 = 2
设 、的夹角为，则cos = ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
解：如图： abcd中， ， ， =
∴| |2=
而 =
∴| |2=
∴| |2 + | |2 = 2 =
例3 四边形abcd中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 • ＝ • ＝ • ＝ • ，试问四边形abcd是什么图形？
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量
解：四边形abcd是矩形，这是因为：
一方面：∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＋ ＝－（ ＋ ），∴( ＋ )2＝（ ＋ ）2
即｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2
由于 • ＝ • ，
∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2①
同理有｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2②
由①②可得｜ ｜＝｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜即四边形abcd两组对边分别相等
∴四边形abcd是平行四边形
另一方面，由 • ＝ • ，有 （ － ）＝0，而由平行四边形abcd可得 ＝－ ，代入上式得 •(2 )＝0
即 • ＝0，∴ ⊥ 也即ab⊥bc
综上所述，四边形abcd是矩形
评述：(1)在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即 ＋ ＋ ＋ ＝ ，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系
四、课堂练习：
1 下列叙述不正确的是（ ）
a 向量的数量积满足交换律 b 向量的数量积满足分配律
c 向量的数量积满足结合律 d • 是一个实数
2 已知| |=6,| |=4, 与 的夹角为60°，则( +2 )•( -3 )等于（ ）
a 72 b -72 c 36 d -36
3 | |=3,| |=4,向量 + 与 - 的位置关系为（ ）
a平行 b 垂直 c 夹角为 d 不平行也不垂直
4 已知| |=3,| |=4,且 与 的夹角为150°，则( + )2＝
5 已知| |=2,| |=5, • =-3,则| + |=______,| - |=
6 设| |=3,| |=5,且 +λ 与 －λ 垂直，则λ＝
参考答案：1 c 2 b 3 b 4 2 5 －1+2 5 6 ±
五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题
六、课后作业
1 已知| |=1,| |= ,且( - )与 垂直，则 与 的夹角是（ ）
a 60° b 30° c 135° d 45°
2 已知| |=2,| |=1, 与 之间的夹角为 ，那么向量 ＝ -4 的模为
a 2 b 2 c 6 d 12
3 已知 、是非零向量，则| |=| |是( + )与( - )垂直的（ ）
a 充分但不必要条件 b 必要但不充分条件
c 充要条件 d 既不充分也不必要条件
4 已知向量 、的夹角为 ，| |=2,| |=1,则| + |•| - |=
5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么 • =
6 已知 ⊥ 、与 、的夹角均为60°，且| |=1,| |=2,| |=3,则( +2 - )2＝______
7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若 、的夹角为60°，求| + |；(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角
8 设 、是两个单位向量，其夹角为60°，求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角
9 对于两个非零向量 、，求使| +t |最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角
参考答案：1 d 2 b 3 c 4 5 –63 6 11
7 (1)- (2) (3)45° 8 120° 9 90°
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1 常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛
即( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2，（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2
上述两公式以及( ＋ )( － )＝ 2－ 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用
2 应用举例
例1 已知｜ ｜＝2，｜ ｜＝5， • ＝－3，求｜ ＋ ｜，｜ － ｜
解：∵｜ ＋ ｜2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝22＋2×（－3）＋52＝23
∴｜ ＋ ｜＝ ，∵（｜ － ｜）2＝（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2＝22－2×（－3）×52＝35，
∴｜ － ｜＝ .
例2 已知｜ ｜＝8，｜ ｜＝10，｜ ＋ ｜＝16，求 与 的夹角θ(精确到1°)
解：∵（｜ ＋ ｜）2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝｜ ｜2＋2｜ ｜•｜ ｜cosθ＋｜ ｜2
∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102，
∴cosθ＝ ，∴θ≈55°
你也可以在好范文网搜索更多本站小编为你整理的其他平面向量的数量积及运算律（多篇）范文。
该篇DOC格式平面向量的数量积及运算律（多篇）范文，共有718个字。好范文网为全国范文类知名网站，下载本文稍作修改便可使用，即刻完成写稿任务。立即下载： 
