圆的标准方程教案【精品多篇】

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圆的标准方程教案 篇一

教学目标

（一）知识目标

1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；

2、理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

（二）能力目标

1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；

2、通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；

3、通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

（三）情感目标

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。

教学重、难点

（一）教学重点

圆的标准方程的理解、掌握。

（二）教学难点

圆的标准方程的应用。

教学方法

选用引导？探究式的教学方法。

教学手段

借助多媒体进行辅助教学。

教学过程

Ⅰ。复习提问、引入课题

师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？

生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ？p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］

师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］

师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.

若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？

生：x2+y2=r2.

师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？

生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即 ，亦即 x2+y2=r2.

师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？

生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，

由两点间的距离公式得

即：（x-a）2+(y-b)2= r2

Ⅱ。讲授新课、尝试练习

师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程。

特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.

师：圆的标准方程由哪些量决定？

生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。

师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。

1、写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］

① 圆心在原点，半径是3 ：________________________

② 圆心在点C（3，4），半径是 ：______________________

③ 经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________

2、变式题［多媒体演示］

① 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。

答案：(x-1)2 + (y-3)2 =

② 已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ，写出圆心坐标和半径。

答案： C（a,0）， r=|a|

Ⅲ。例题分析、巩固应用

师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用。

［例1］ 已知圆的方程是 x2+y2=17，求经过圆上一点P（，）的切线的方程。

师：你打算怎样求过P点的切线方程？

生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。

师： 斜率怎样求？

生：。。。。。。

师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看（如图）

生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数

半径OP的斜率 K1＝， 所以切线的斜率 K＝－＝－

所以所求切线方程：y-= －(x-)

即：x+y=17 （教师板书）

师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P（，）的切线方程x+y=17，你能作出怎样的猜想？

生：。。。。。。

师：由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P（，）有何关系？

（若看不出来，再看一例）

〈ＷＷＷ．BAIHUAWEN.CN〉［例1/］ 圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。

答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0

师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）

生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。

师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo），则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！

生：xox+yoy=r2.

师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？

生：。。。。。。

［例2］已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。

解：如图（上一页），因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数

∵半径OP的斜率 K1＝，∴切线的斜率 K＝－＝－

∴所求切线方程：y-yo= － (x-xo)

即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2. （教师板书）

当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。

归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换，可得到切线方程

［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）

引导学生分析，共同完成解答。

师生分析：①建系； ②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方程求A2P2的长度。

解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为

（0，b），半径为r，那么圆的方程是 x2+(y-b)2=r2.

∵P(0,4)，B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：

解得：b=-10.5 ，r2=14.52

∴圆的方程为 x2+(y＋10.5)2=14.52.

将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程

且取y>0

得：y=

≈14.36-10.5=3.86 (M)

答：支柱A2P2的长度约为3.86M。

Ⅳ。课堂练习、课时小结

课本Ｐ77练习2，3

师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题。

Ⅴ。问题延伸、课后作业

（一)若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b）2= r2上时，？求过P点的圆的切线方程。

课本Ｐ81习题7.7 : 1，2，3，4

（二）预习课本Ｐ77～Ｐ79

圆的标准方程教案 篇二

1。教学目标

（1）知识目标: 1。在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；

2。会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。

（2）能力目标: 1。进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；

2。使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；

3。增强学生用数学的意识。

（3）情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

2。教学重点。难点

（1）教学重点:圆的标准方程的求法及其应用。

（2）教学难点:会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰

当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

3。教学过程

（一)创设情境(启迪思维）

问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

[引导] 画图建系

[学生活动]:尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）

解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)

将x=2。7代入，得 。

即在离隧道中心线2。7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。

（二)深入探究(获得新知）

问题二:1。根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为 的圆的方程？

答:x2 y2=r2

2。如果圆心在 ，半径为 时又如何呢？

[学生活动] 探究圆的方程。

[教师预设] 方法一:坐标法

如图，设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={MMC=r}

由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为 ①

把①式两边平方，得(x?a)2 (y?b)2=r2

方法二:图形变换法

方法三:向量平移法

（三)应用举例(巩固提高）

圆的标准方程教案 篇三

教学目标：

1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

（一）、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

探索研究：

（二）、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（a，b），半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M（x，y）为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r}，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件①

化简可得：②

引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A（a，b），半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

（三）、知识应用与解题研究

例1．（课本例1）写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点与圆的关系的判断方法：

（1）>，点在圆外

（2）=，点在圆上

（3）<，点在圆内

解：

例2．（课本例2）的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程。

师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆。从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数。

解：

例3．（课本例3）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在上，求圆心为的圆的标准方程。

师生共同分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。圆心为的圆经过点和，由于圆心与A，B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。

解：

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2、例3可得出圆的标准方程的两种求法：

1、根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到的值，写出圆的标准方程。

②﹑根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程。

（四）、课堂练习（课本P120练习1，2，3，4）

归纳小结：

1、圆的标准方程。

2、点与圆的位置关系的判断方法。

3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业布置：课本习题4。1A组第2，3，4题。

课后记：

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