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《指数函数》的优秀教案1
一、教学目标:
1、知识与技能:
(1) 结合实例,了解正整数指数函数的概念.
(2)能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质.
2、过程与方法:
(1)让学生借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法.
(2)从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫.
3、情感.态度与价值观:使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心.
二、教学重点:正整数指数函数的定义.教学难点:正整数指数函数的解析式的确定.
三、学法指导:学生观察、思考、探究.教学方法:探究交流,讲练结合。
四、教学过程
(一)新课导入
[互动过程1]:
(1)请你用列表表示1个细胞分裂次数分别
为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;
(2)请你用图像表示1个细胞分裂的次数n( )与得到的细
胞个数y之间的关系;
(3)请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式,试用
科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数.
解:
(1)利用正整数指数幂的运算法则,可以算出1个细胞分裂1,2,3,
4,5,6,7,8次后,得到的细胞个数
分裂次数 1 2 3 4 5 6 7 8
细胞个数 2 4 8 16 32 64 128 256
(2)1个细胞分裂的次数 与得到的细胞个数 之间的关系可以用图像表示,它的图像是由一些孤立的点组成
(3)细胞个数 与分裂次数 之间的关系式为 ,用科学计算器算得 ,
所以细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别为32768和1048576.
探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数? 细胞个数 随着分裂次数 发生怎样变化?你从哪里看出?
小结:从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是底数为2的指数,而且指数是变量,取值为正整数. 细胞个数 与分裂次数 之间的关系式为 .细胞个数 随着分裂次数 的增多而逐渐增多.
[互动过程2]:问题2.电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q00.9975 t,其中Q0是臭氧的初始量,t是时间(年),这里设Q0=1.
(1)计算经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q;
(2)用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化;
(3)试分析随着时间的增加,臭氧含量Q是增加还是减少.
解:(1)使用科学计算器可算得,经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q的值分别为0.997520=0.9512, 0.997540=0.9047, 0.997560=0.8605, 0.997580=0.8185, 0.9975100=0.7786;
(2)用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化如图所
示,它的图像是由一些孤立的点组成.
(3)通过计算和观察图形可以知道, 随着时间的增加,臭氧含量Q在逐渐减少.
探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别又是什么?此函数是什么类型的函数?,臭氧含量Q随着时间的增加发生怎样变化?你从哪里看出?
小结:从本题中可以看出我们得到的臭氧含量Q都是底数为0.9975的指数,而且指数是变量,取值为正整数. 臭氧含量Q近似满足关系式Q=0.9975 t, 随着时间的增加,臭氧含量Q在逐渐减少.
[互动过程3]:上面两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?为什么?
正整数指数函数的定义:一般地,函数 叫作正整数指数函数,其中 是自变量,定义域是正整数集 .
说明: 1.正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集.2.在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数.
(二)、例题:某地现有森林面积为1000 ,每年增长5%,经过 年,森林面积为 .写出 , 间的函数关系式,并求出经过5年,森林的面积.
分析:要得到 , 间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出 , 间的函数关系式.
解: 根据题意,经过一年, 森林面积为1000(1+5%) ;经过两年, 森林面积为1000(1+5%)2 ;经过三年, 森林面积为1000(1+5%)3 ;所以 与 之间的函数关系式为 ,经过5年,森林的面积为1000(1+5%)5=1276.28(hm2).
练习:课本练习1,2
补充例题:高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2.38%,那么如果他第n个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n与y之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少?
解:一个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2.38%),二个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2.38%)2;,三个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2.38%)3,, n个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2.38%)n; 所以n与y之间的关系为y=2000(1+2.38%)n (nN+),一年后他全部取回,他能取回的钱数为y=2000(1+2.38%)12.
补充练习:某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少?
(三)、小结:1.正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集.2.在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数。
《指数函数》的优秀教案2
教材分析:
“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质,掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的.作为重要的基本初等函数之一,指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用,也为今后研究其他函数提供了方法和模式,为后续的学习奠定基础.指数函数在知识体系中起了承上启下的作用,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材,所以指数函数应重点研究.
学情分析:
通过初中阶段的学习和高中对函数、指数的运算等知识的系统学习,学生对函数已经有了一定的认识,学生对用“描点法”描绘出函数图象的方法已基本掌握,已初步了解数形结合的思想.另外,学生对由特殊到一般再到特殊的数学活动过程已有一定的体会.
教学目标:
知识与技能:理解指数函数的概念和意义,能正确作出其图象,掌握指数函数的性质并能自觉、灵活地应用其性质(单调性、中介值)比较大小.
过程与方法:
(1) 体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法,培养学生观察、归纳、猜想、概括的能力,让学生了解数学来源于生活又在生活中有广泛的应用;理解并掌握探求函数性质的一般方法;
(2) 从数和形两方面理解指数函数的性质,体会数形结合、分类讨论的数学思想方法,提高思维的灵活性,培养学生直观、严谨的思维品质.
情感、态度与价值观:
(1)体验从特殊到一般再到特殊的学习规律,认识事物之间的普遍联系与相互转化,培养学生用联系的观点看问题,激发学生自主探究的精神,在探究过程中体验合作学习的乐趣;
(2)让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美,进一步培养学生的学习兴趣。
教学重点:指数函数的图象和性质
教学难点:指数函数概念的引入及指数函数性质的应用
教法研究:
本节课准备由实际问题引入指数函数的概念,这样可以让学生知道指数函数的概念来源于客观实际,便于学生接受并有利于培养学生用数学的意识.
利用函数图象来研究函数性质是函数中的一个非常重要的思想,本节课将是利用特殊的指数函数图象归纳总结指数函数的.性质,这样便于学生研究其变化规律,理解其性质并掌握一般地探求函数性质的方法 同时运用现代信息技术学习、探索和解决问题,帮助学生理解新只是。
教学过程:
一、问题情境 :
问题1:某种细胞分裂时,由一个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,以此类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么?
问题2:一种放射性物质不断变化为其它物质,每经过一年剩余质量约是原来的 ,设该物质的初始质量为1,经过 年后的剩余质量为 ,你能写出 之间的函数关系式吗?
分析可知,函数的关系式分别是 与
问题3:在问题1和2中,两个函数的自变量都是正整数,但在实际问题中自变量不一定都是正整数,比如在问题2中,我们除了关心1年、2年、3年后该物质的剩余量外,还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量,怎么办?
这就需要对函数的定义域进行扩充,结合指数概念的的扩充,我们也可以将函数的定义域扩充至全体实数,这样就得到了一个新的函数——指数函数.
二、数学建构 :
1]定义:
一般地,函数 叫做指数函数,其中 .
问题4:为什么规定 ?
问题5:你能举出指数函数的例子吗?
阅读材料(“放射性碳法”测定古物的年代):
在动植物体内均含有微量的放射性 ,动植物死亡后,停止了新陈代谢, 不在产生,且原有的 会自动衰变.经过5740年( 的半衰期),它的残余量为原来的一半.经过科学测定,若 的原始含量为1,则经过x年后的残留量为 = .
这种方法经常用来推算古物的年代.
练习1:判断下列函数是否为指数函数.
(1) (2)
(3) (4)
说明:指数函数的解析式y= 中, 的系数是1.
有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y= +k (a>0且a 1,k Z);
有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如y= (a>0,且a 1),因为它可以化为y= ,其中 >0,且 1
2]通过图象探究指数函数的性质及其简单应用:利用几何画板及其他多媒体软件和学生一起完成
问题6:我们研究函数的性质,通常都研究哪些性质?一般如何去研究?
函数的定义域,值域,单调性,奇偶性等;
利用函数图象研究函数的性质
问题7:作函数图象的一般步骤是什么?
列表,描点,作图
探究活动1:用列表描点法作出 , 的图像(借助几何画板演示),观察、比较这两个函数的图像,我们可以得到这两个函数哪些共同的性质?请同学们仔细观察.
引导学生分析图象并总结此时指数函数的性质(底数大于1):
(1)定义域?R
(2)值域?函数的值域为
(3)过哪个定点?恒过 点,即
(4)单调性? 时, 为 上的增函数
(5)何时函数值大于1?小于1? 当 时, ;当 时,
问题8::是否所有的指数函数都是这样的性质?你能找出与刚才的函数性质不一样的指数函数吗?
(引导学生自我分析和反思,培养学生的反思能力和解决问题的能力).
根据学生的发现,再总结当底数小于1时指数函数的相关性质并作比较.
问题9:到现在,你能自制一份表格,比较 及 两种不同情况下 的图象和性质吗?
(学生完成表格的设计,教师适当引导)
《指数函数》的优秀教案3
一、教学目标:
知识与技能:理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质,培养学生实际应用函数的能力。
过程与方法:通过观察图象,分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现、分析、解决问题的能力。
情感态度与价值观:在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
二、教学重点、难点:
教学重点:指数函数的概念、图象和性质。
教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
三、教学过程:
(一)创设情景
问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗?
学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y=2x。
问题2:一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%。求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系。设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。
学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y=0。84x。
引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。
1.指数函数的定义
一般地,函数y?a?a?0且a?1?叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R。x
问题:指数函数定义中,为什么规定“a?0且a?1”如果不这样规定会出现什么情况?
(1)若a<0会有什么问题?(如a??2,x?
x1则在实数范围内相应的函数值不存在)2(2)若a=0会有什么问题?(对于x?0,a无意义)
(3)若a=1又会怎么样?(1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要。)
师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定a?0且a?1。
练1:指出下列函数那些是指数函数:
?1?(1)y?4x(2)y?x4(3)y??4x(4)y???4?(5(转载于:,n的大小:
设计意图:这是指数函数性质的简单应用,使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。
(五)课堂小结
(六)布置作业
《指数函数》的优秀教案4
教学目标:
1.进一步理解指数函数的性质;
2.能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题;
教学重点:
指数函数的性质的应用;
教学难点:
指数函数图象的平移变换.
教学过程:
一、情境创设
1.复习指数函数的概念、图象和性质
练习:函数y=ax(a0且a1)的定义域是_____,值域是______,函数图象所过的定点坐标为 .若a1,则当x0时,y 1;而当x0时,y 1.若00时,y 1;而当x0时,y 1.
2.情境问题:指数函数的性质除了比较大小,还有什么作用呢?我们知道对任意的a0且a1,函数y=ax的图象恒过(0,1),那么对任意的a0且a1,函数y=a2x1的图象恒过哪一个定点呢?
二、数学应用与建构
例1 解不等式:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
小结:解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样,是指数性质的运用,关键是底数所在的范围.
例2 说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系,并画出它们的示意图:
(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
小结:指数函数的平移规律:y=f(x)左右平移 y=f(x+k)(当k0时,向左平移,反之向右平移),上下平移 y=f(x)+h(当h0时,向上平移,反之向下平移).
练习:
(1)将函数f (x)=3x的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,可以得到函数 的图象.
(2)将函数f (x)=3x的图象向右平移2个单位,再向上平移3个单位,可以得到函数 的图象.
(3)将函数 图象先向左平移2个单位,再向下平移1个单位所得函数的解析式是 .
(4)对任意的a0且a1,函数y=a2x1的图象恒过的定点的坐标是 .函数y=a2x—1的图象恒过的定点的坐标是 .
小结:指数函数的定点往往是解决问题的突破口!定点与单调性相结合,就可以构造出函数的简图,从而许多问题就可以找到解决的突破口.
(5)如何利用函数f(x)=2x的图象,作出函数y=2x和y=2|x2|的图象?
(6)如何利用函数f(x)=2x的图象,作出函数y=|2x—1|的图象?
小结:函数图象的对称变换规律.
例3 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且x0时,f(x)=1—2x,试画出此函数的图象.
例4 求函数 的最小值以及取得最小值时的x值.
小结:复合函数常常需要换元来求解其最值.
练习:
(1)函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a等于 ;
(2)函数y=2x的值域为 ;
(3)设a0且a1,如果y=a2x+2ax—1在[—1,1]上的最大值为14,求a的值;
(4)当x0时,函数f(x)=(a2—1)x的值总大于1,求实数a的取值范围.
三、小结
1.指数函数的性质及应用;
2.指数型函数的定点问题;
3.指数型函数的草图及其变换规律.
四、作业:
课本P55—6,7.
五、课后探究
(1)函数f(x)的定义域为(0,1),则函数 的定义域为 。
(2)对于任意的x1,x2R ,若函数f(x)=2x ,试比较 的大小。
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